Hi Macieju, wg. mojego tłumaczenia/ rozumienia, te dwa słowa jak podaj, oddaj są wyrazami w znaczeniu o przekazywanie- mam na uwadze jako bliskoznaczne.
............
W naszym słowniku Et jest podane jako- hand it over to somebody, (phrasal verb ), przekazywać coś komuś,  
to give someone else the responsibility or control
oraz inne jak, give something over to somebody , (phrasal verb), przekazywać coś komuś ,oddawać coś komuś (np. kontrolę, odpowiedzialność za coś), powierzyć
............
oraz wg. słownika macmillandictionary.com- to give something to someone by holding it in your hand and offering it to them
hand something over to someone: He handed the car keys over to Stella.
...........
Pozdrawiam

Według mojego rozumienia "oddaj" odnosi się do czegoś, co wcześniej było zabrane. Nigdy nie spotkałem się z takim zastosowaniem "hand over". Jak napisał Jerzy, wydaje mi się, że najbliższe znaczeniowo dla hand over jest przekazać, ale, że w zwrocie "Hand it over, please" przekaż brzmiałoby chyba nie najlepiej, stąd użyto "podaj". Ale pewnie w zależności od kontekstu "przekaż" też mogłoby być. Tym bardziej, ze nie chodzi o samo podanie na chwilę, ale podanie w tym celu, żeby ktoś kto otrzymuje, zatrzymał to, co właśnie dostał.
Hand over dotyczy m.in przekazania gotowego wyrobu, obiektu, nawet na określenie protokołu przekazania (odbioru) często używa się "Hand over certificate".