Oba zdania są poprawne. Normalnie powiemy "I did that." i będzie to znaczyć: "zrobiłem to". Natomiast gdy chcemy użyć emfazy, to możemy wzmocnić wypowiedź za pomocą operatora i będziemy mieć "I did do that!" = "Naprawdę to zrobiłem! / To ja to zrobiłem!".

Kwestia "it/that" jest problematyczna, bo ciężko o jakieś stuprocentowe reguły. Ogólnie bezpieczniej jest użyć "it", bo będzie raczej zawsze pasować do zdania i kontekstu. Natomiast "that" będzie użyte, gdy mówimy o określonej wcześniej czynności lub gdy chcemy pokazać konrast pomiędzy dwoma różnymi akcjami:
" - Don't do this/it. Do that!" - Nie rób tego. (zamiast tego) Zrób to!"