Całość tego zdania zamyka się w przeszłości.

If they asked him for permission (gdyby zapytali o pozwolenie, w jakimkolwiek momence - wczoraj, dzisiaj, jutro), he would have agreed (zgodziłby się - ale tak się nie stało w rzeczywistości).

Mieszanka II i III trybu warunkowego jest czasami wyjaśniana właśnie w ten sposób - If + Past Simple - to określenie czegoś, co jest aktualne, pewnego stanu aktualnego dawniej, dzisiaj i w przyszłości.

Wiem, że to dość trudna konstrukcja gramatyczna, ale przytaczam tylko to, o czym czytałem w odniesieniu do mix conditinals.

Bardziej się skłaniam do wyjaśniania okresów warunkowych według wskazań Henryka Krzyżanowskiego "Sto testów z gramatyki angielskiej". Ale w różnych sposobach wyjaśniania conditionali jest wartość :-) Trzeba się ich jakoś nauczyć.

Problem polega na tym, że każde ze zdań, czy to w II czy w III, czy też w mieszanym okresie warunkowym, na język polski tłumaczone byłoby jako: "Jeśli zapytaliby się (poprosili) go o zgodę, zgodziłby się". W j. angielskim, użyty czas dodaje dodatkową informację. I tak:
II okres warunkowy - If they asked him for permission, he would agree. - mówimy o sytuacji w miarę aktualnej, rozważamy co by było, gdyby, pytanie jeszcze nie zostało zadane, ale jest taka możliwość. Że zostanie zadane i że się zgodzi.
III okres warunkowy - If they had asked for permission, he would have agreed - odnosi się do sytuacji, która miała miejsce w przeszłości, zdarzyła się i nie mamy już na nią wpływu. Wiemy, że pytanie o zgodę nie padło. Ale przewidujemy, że gdyby padło, to by się zgodził. Czyli inaczej, gdyby zapytali, to by się zgodził, ale ponieważ się nie zapytali, to nie mieli (i nie mają) jego zgody.
Pomijając rozważania na temat używania Past Simple zamiast Past Perfect w amerykańskiej wersji języka angielskiego, zastosowanie okresu mieszanego może wskazywać na to, że nie wiemy czy pytanie o zgodę padło w przeszłości czy też nie, ale przewidujemy, że gdyby jednak padło, to pewnie by się zgodził (może nawet padło i się godził - nie wiemy tego).

Jest jeszcze jedna możliwość. Mamy do czynienia z czasem Future Perfect (will have agreed), który w drugim okresie warunkowym przyjął formę "would have agreed". Czas Czas Future Perfect jest używany do określenia czynności, która skończy się zanim zacznie się następna czynność, bądź też zakończy się przed pewnym określonym czasem (punktem) w przyszłości. Czyli mówimy za każdym razem o 'skończonej', 'dokonanej' czynności. Czyli gdyby zapytali się o zgodę (wciąż się o nią nie zapytali - II okres warunkowy), zgodziłby się (zanim przeszliby do kolejnego działania), np. ucinania gałęzi, postawienia chwilowo czegoś we wjeździe (pole dla wyobraźni otwarte ;) ).