"Cross / across" to nie synonimy i w dodatku różne części mowy!
Różnice kompaktowo dla uczących się:

Across (przyimek, przysłówek): "przez / na drugiej stronie" ale w połączeniu ze znaczeniem "w poprzek", np.:
go across the street / river / bridge (ok, dla mostu moja zasada jest słaba, ale most jest w poprzek rzeki :-) )
see somebody across the street

Cross (czasownik, rzeczownik, przymiotnik): (m.in.) "przekraczać, przemierzać (coś z ruchem)", np.:
cross the bridge / river / ocean / railway track / room

Through (głównie przyimek): "przez" w znaczeniu stąd na drugą stronę z tymczasowym pobytem wewnątrz, np.:
go through: the door / meadow / forest / this year / hard time / a red light / recruitment process / tunnel,
see through: the keyhole / glasses / window / pipe / door,
ale też w znaczeniu "dzięki komuś/czemuś": np. I got this idea through my sister.

W pewnych sytuacjach można zamienić "across" i "through", np.:
We went across/through the river.
W pierwszym wypadku nie wiadomo czy był na rzece most, a w drugim trzeba było się zamoczyć. :-)