Dość sporo jest o tym w lekcji A-39
1/ To zupełnie inne części mowy: cross-czasownik, across-przyimek. We cross the field. We walk across the field.
2/ Równoważne, przy czym chyba znacznie częściej używane jest by.
3/ to synonimy
4/ Out - ogólnie "na zewnątrz". Outside - na zewnątrz jakiegoś obszaru, przestrzeni, określonego zbioru.
5/ Równoważne wyrażenia.

Kilka komentarzy do tego, co napisał tlstar:

1/ Przyimek lub przysłówek, ale nie przymiotnik. :-)
2/ Warto zaznaczyć, że mamy tu na myśli "obok" w kontekście "Przeszedł obok i nawet na mnie nie spojrzał.", a nie "Usiadł obok mnie i się uśmiechnął.".
3/ Tak, ale gdy przechodzimy przez coś, co nas otacza (np. las), użyjemy "through".
4/ "Out" rzeczywiście jest ogólniejsze (chociaż znaczenia mogą się pokrywać).
5/ "Across" jest jednak bardziej jednoznaczne ("over" może sugerować, że przeszło się nad czymś).