Bardzo ciekawe pytanie i postanowiłem "pogrzebać trochę w necie i oto co znalazłem"

Najpierw definicja po co w ogóle jest to nieszczęsne <<up>> po czasowniku...
>> (verb)+up >> (particle) indicating intensity or completion of an action: he tore up the cheque, drink up now!

Z "up" jest taka mała różnica że robimy coś jakby lepiej, więcej i bardziej dokładnie... tak ja to przynajmniej rozumiem. Krótko mówiąc i upraszczając w twoim przypadku różnica pomiędzy "tidy" a "tidy up" będzie taka jak po polsku pomiędzy POSPRZĄTAĆ a WYSPRZĄTAĆ. Na pewno "wysprzątać" jest bardziej "zintensyfikowane" i wymaga więcej roboty niż takie tam zwykłe "posprzątać"

I kilka jeszcze odpowiedzi z internetu:
>> Adding "up" involves doing a more thorough job including discarding things, as opposed to just "tidy" which might imply merely making things look neat.

>> There is not a big difference but adding "up" conveys a sense of more complete. Tidy means to make somewhat tidier, while "tidy up" implies completing the job of making the room tidy.

>> If there is a big mess, I can say "I'm going to tidy up"; I could not say "I'm going to tidy."