Użycie 'that' przeważnie nie będzie błędem w obu zdaniach (I thought that you were right-handed; Any wintess will agree that I told you the truth).
Ale też można pominąć, o ile dobrze pamiętam, 'that' w znaczeniu 'że' można pominąć przeważnie. 'I was the man that got away' - w znaczeniu który nie pominiesz, ewentualnie zastąpisz innym słowem. No, na tyle ja wiem, dlatego używam słowa 'przeważnie'.

I remember you mentioned (that) you will come to visit us.
I saw the person (that) I saw yesterday at the meeting.
I was given an impression (that) there was a problem.
It confirms his claim (that) the damage was minimal.

W zdaniach tego typu (w których "that" oznacza "że") użycie "that" jest opcjonalne. Nie trzeba, ale można go użyć po to, aby zdanie lepiej, płynniej brzmiało (np. "THAT THERE was a problem może być trudniejsze do wymówienia) albo żeby łatwiej było zrozumieć znaczenie całego zdania.