Ma znaczenie.
True - to przymiotnik, a przymiotniki oznaczają właściwości przedmiotów i często w zdaniu łączą się z rzeczownikami, które są nazwami tych przedmiotów, np: biały koń, prawdziwy klejnot. Za ich pomocą oznaczamy cechy przedmiotów np: barwę, kształt, wielkość, czasem też przynależność przedmiotu do kogoś lub czegoś. Przymiotnik odpowiada na pytania: jaki?, jaka?, jakie?.
True = prawdziwy.

Truth - rzeczownik. Rzeczowniki mają różne znaczenia. Mogą nazywać istoty żyjące (kot, pies), przedmioty i zjawiska (szafa, śnieg), pojęcia takie (prawda, radość) oraz czynności i cechy (bieg, młodość, starość).
Truth = prawda, prawdziwość.

Napiszę, co podpowiada mi tu moja intuicja.

Według mnie w tym konkretnym zdaniu nie ma to aż takiego znaczenia. Użyto w nim przymiotnika, bo można. Dosłownie: To nie może być prawdziwe (ta historia, to, co widzę, to, co mówisz). Jasne, że lepiej po polsku brzmi "prawda".
Poza tym, jak śledzę przykłady do haseł "true" i "truth" np. w Diki, to widzę, że "truth" występuje przeważnie z przedimkiem określonym - "the".
A zatem "prawda jest tylko jedna"?
Czy zatem zdanie: "That can't possibly be the thruth" miałoby inne znaczenie? - Czekam, aż dowiem się prawdy, ktoś coś powiedział, ale ja nie wierzę - To nie może być prawda (ta prawda, na którą czekam, której się spodziewam, ta jedna jedyna na ten temat)

Chyba się trochę sama w tym gubię.
Może ktoś z Nauczycieli Etutora byłby tak miły, oderwał się na moment od swych codziennych obowiązków i pomógł rozstrzygnąć kwestię "true" i "(the) truth"?

Moim zdaniem obie formy są jak najbardziej gramatycznie poprawne i mogą mieć bardzo podobne znaczenie, choć wydaje mi się, że w proponowanym zdaniu Anglik w większości sytuacji użyłby "true". Bierze się to prawdopodobnie z tej drobnej różnicy znaczeniowej.
"Truth" jest rzeczownikiem i przeważnie pociąga za sobą rodzajnik "the" co też automatycznie powoduje konieczność położenia akcentu na tę część zdania.

Jest jeszcze jedna kwestia. Popatrzmy jeszcze na dwa zdania:

The truth is that Spirulinka always asks interesting questions.
It is true that Spirulinka always asks interesting questions.

Jak dla mnie pierwsze zdanie jest mocniejsze i bliższe zdaniu "The fact is..." niż "It is true..."

A swoją drogą mógłby się ktoś wypowiedzieć na temat użycia "truth" z rodzajnikiem nieokreślonym "a". Na pewno widziałem taką konstrukcję wielokrotnie, ale nie potrafię podłożyć pod to teorii. Może wtedy kiedy prawda nie jest jeszcze znana?