Dlaczego w zdaniu pierwszym występuje forma She's a w drugim nie?

Podane zdania różnią się czasem!!!
She's become a beautiful young woman = She has become a beautiful young woman (czas Present Perfect) po porostu: she + has = she's (contraction = forma ściągnięta)

Jack became angry with himself (czas Past Simple)

Dokładnie tak, jak mówi ArchiCzerwin pierwsze zdanie to czas Present Perfect (She has become = /w tym zdaniu!/ she's become), drugie - Past Simple - proszę też zwrócić uwagę na to, że 's nie jest jedyną różnicą między zdaniami, tu zwracam uwagę na różnicę w pisowni czasownika - w zdaniu pierwszymy mamy "become" a w drugim - "became". Czasy te zostaną dokładnie przedstawione i przećwiczone nieco później w kursie, ja tylko dodam teraz, że skrót 's może być skrótem od kilku rzeczy, np. od "she is", a z jakimś rzeczownikiem, lub imieniem, może też oznaczać przynależność (np. Jack's = Jacka; my mother's = mojej mamy).