"w sobotę" = Saturday czy ON Saturday?

W języku mówionym często opuszcza się on przed określeniem dnia. Więc możesz powiedzieć:

I'll see you on Friday oraz I'll see you Friday.

I don't go out on Wednesday mornings oraz I don't go out Wednesday mornings.

Nie używamy at/on/in przed last/next/this/every:

I'll see you next Friday (nie on Friday),

They got married last May.

danane
> Czy poprawnie jest używać nazw dni tygodnia bez żadnego przyimka/przymiotnika czy też jest w ww. zdaniu błąd?

To zależy od konstrukcji zdania.
Poniżej zamieszczam kilka przykładów zaczerpniętych z OALD:

nic przed Monday
- It's Monday today, isn't it?
- Monday morning/afternoon/evening
- I work Monday to Friday.
- I work Mondays to Fridays.
- (British English) Come back Monday week (= a week after next Monday).

last, next
- She started work last Monday.
- Are you busy next Monday?

at, possesive
- We'll discuss this at Monday's meeting.
- Do we still have Monday's paper?

on, on a
- On Monday(s) (= Every Monday) I do yoga.
- I always do yoga on a Monday.
- He was born on a Monday.
- I went to Paris on Thursday, and came back the following Monday.
- We'll meet on Monday.

the
(British English) ‘When did the accident happen?’ ‘It was the Monday (= the Monday of the week we are talking about).’

nic - przykład z pytania
(informal or North American English) We'll meet Monday.

Odpowiadając na drugą część Twojego pytania z informacji tu przedstawionych wynika, że brak użycia czegokolwiek w przykładzie z lekcji jest językiem nieformalnym bądź używanym w Ameryce północnej (jest to ostatni przykład).

Pozdrawiam serdecznie