Czy "don't have to do something" i "needn't do something" można zawsze stosować zamiennie?

Gramatycznie wymienne. Niemniej w użyciu zależy, jak to zwykle :-) od kontekstu. Have to do sth jest jakby "mocniejsze", wynika często z zewnętrznego przymusu, obowiązku, nakazu: musieć/nie musieć coś zrobić. Need jest bardziej "lżejszy" i wynika bardziej z wewnętrznej potrzeby/braku potrzeby zrobienia czegoś. W przeczeniach analogicznie (inaczej jest z must). Choć przypadki stosowania czasownika need są niestety bardziej skomplikowane. Tu jest trochę więcej: https://www.etutor.pl/lessons/en/c1/4/1/31749