anxiety=niepokoj,troska, obawa.
Stosujemy raczej gdy chcemy okreslic stan leku,niepokoju,zaniepokojenia
.Be anxious about sth/sth=Niepokoic sie o cos/kogos
Be anxious that...= Niepokoic sie ze...

"Alarm = poploch,panika,trwoga, zaniepokojenie,niepokoj,obawa,zatrwozyc,wystraszyc,ostrzegac
raise the alarm=wszczac alarm,
There is no cause for alarm= nie ma powodu do niepokoju
With alarm=z obawa,z niepokojem
Sa to synonimy z tym ze "anxiety " niosa mniejszy ladunek emocjonalny,mniejsze zagrozenie jak w przypadku "alarm"

...
cause concern=byc powodem do obaw
concerned=zaniepokojony,zmartwiony ,zatroskany( be anxious about sth)
be concerned that,by,at=zaniepokojony,zmartwiony ,zatroskany
itp.
podobnie" worry about sth" czy trouble( to trouble about [or over] sb/sth=mieć zmartwienie z kimś/czymś) i pewnie kilka innych. Ale wszystkie maja wspolny mianownik -troskac sie ,niepokoic sie- Oczywiscie w konkretnych kontekstach.
Wracajac do twojego pytania; Tak , sa to synonimy

"Anxiety" odnosi się do negatywnego stanu emocjonalnego, do lęku który nie jest związany z realistycznym zagrożeniem; jest to stałe uczucie niepokoju, napięcia. Termin oznacza również obawę, zmartwienie daną sytuacją i w tym kontekście jest synonimiczne z "concern", np. "anxiety/concern about job loss" (= obawa przed utratą pracy).

"Alarm" to niepokój, strach, obawa, zaniepokojenie przed realnym niebezpieczeństwem, pochodzącym z zewnątrz; nagłe poczucue zagrożenia, bądź ostrzeżenie przed nadchodzącym niebezpieczeństwem. Często stosuje się ten rzeczownik w odniesieniu do ogólnego popłochu, strachu dotyczącego większej grupy ludzi, np. "The police has said there is no cause for alarm" (= Policja oświadczyła, że nie ma powodu do niepokoju).

Dodam jeszcze link do wątku dotyczącego podobnego tematu ;-)
https://www.etutor.pl/forum/thread/36954-anxious_i_concerned.html#unread