Siema,
Nie jest obojętne czy użyjemy gerund czy infinitive po słówku 'try'.

TRY
1) He tries to study harder. Stara się uczyć więcej (wysiłek)
2) He tries studying. Próbuje sie pouczyć. (i zobaczyć co się stanie).

Przykład:
Try (MAKE AN EFFORT) to open this tin.
Try (AS AN EXPERIMENT) putting the tin in hot water if it's difficult to open.
I tried to read (starałem się czytać ale z jakiegoś powodu nie mogłem)
I tried reading (Spróbowałem czytania, ale to nie to co chciałem robić :)

To tak ogólnie, spróbuj te zasady odnieść do swojego przykładu.
Pozdrówka ;)

Po wielu czasownikach mozna uzywać to lub +ing ale daje to rozne znaczenia np. (może troszke naciągam polski ale łatwiej wyczuc róznice)

TRY
- +ing
I have a headache. Try taking an aspirine. (Spróbuj wziąć -> czy Ci pomożę) zatem EFEKTU oczekujemy
- to
I tried to moved a desk. (Sprobowalem przesunąc -> zatem próba DOKONANIA CZYNNOSCI a nie zobaczenie efektu)

GO ON

- +ing
He went on talking. (Mówił nadal)
- to
He went on to talk about agreeculture. (Przeszedl DO mówienia...)

STOP

- +ing
He stopped smoking. (On przestal palić) ->efekt lub (On przestal/rzucil palenie)
- to
He stopped to smoke. (On zatrzymal się ŻEBY zapalić) ->Dokonanie czynnosci
lub On zatrzymał się, a żeby zapalić)



Zatem:
Mozna to sobie tłumaczyc:
1) jako (Czynność/ efekt)
2) TO -> a żeby cos zrobic; ING zamykanie, spanie,kichanie itp (ciagłe)
3) TO -> Do robienia czegos

Wszystko jest kwestia wyczucia, które w kwestii TO i ING wydaje mi sie ze dość szybko przychodzi.

Podaje kilka przykładów

REMEMBER

I remember locking the door. - Pamiętam, że zamykalem drzwi. (Pamietam zamykaNIE)
I remembered to lock the door. - Pamiętam, a żeby zamknąć drzwi.

FORGET

I forgot to lock the door. Zapomniałam, a żeby zamknąć.
I forgot dancing with him. - Zapomnialam, że z nim tanczyłam (Zapomniałam tanczenia z nim)

I teraz moje tlumaczenie Twojego zdania: ( i tu prosze o komentarze jakby ktos mial inna wersje;)
I'll try sleeping by a campfire. - Sprobuje spania przy ognisku. w celu zobaczenia efektu. (albo np gdyby wczesniej bylo zdanie "Nie mogę spać w namiocie" :] )
I'll try to sleep by a campfire - Spróbuje spać przy ognisku.
(Proba dokonania czynnosci - czy się da)

W zależności od tego, czy po danym czasowniku użyjemy "to" czy "czas+ing", zmienia się znaczenie zdania. W przypadku, który Pan podał:

I'll try sleeping by a campfire. -
Oznacza to, co już pisali moi poprzednicy:
Spróbuję spania przy ognisku. (w sensie: "ciekawe, jak się śpi przy ognisku")
Tłumaczenie "Spróbuję spać przy ognisku" też jest poprawne, bo w polskim jest to naprawdę subtelna różnica i nie tak bardzo wyczuwalna, jak w angielskim. My bardziej wnioskujemy z kontekstu niż z formy czasownika.

I'll try to sleep by a campfire -
Spróbuje spać przy ognisku. ( w sensie: ciekawe, czy da się spać przy ognisku)