books.google.com:
"breathe a sigh of relief" => 312 000 hits
"let her breath out in relief" => 1 415 hits

Masz rację, że wyrażenie, które widzisz w słowniku, jest znacznie popularniejsze.
Ale to drugie też bywa używane i całkiem atrakcyjnie brzmi. Znajmy oba!

Zgaduję, że - zwłaszcza pisząc jakąś literacką fikcję - możemy używać obu, zamiennie.
Rozumieć (nie tłumaczyć na polski) te wyrażenia być może wolno mniej więcej tak:

"breathe a sigh of relief" = wydechnąć stęknięcie ulgi
(stęknięcie być może z udziałem strun głosowych)

"let her breath out in relief" = wypuściła z siebie dech w uldze
(raczej tylko czysty wydech, bez jęczenia)

Dlaczego użyto tego mniej popularnego? Może autor scenki, czy tam czego, jakoś akurat uległ pokusie, żeby użyć mniej pospolitego wyrażenia, bo "breathe a sigh of relief" jest zgrane jak "once upon a time" :)

Zastrzegam, że wszystko, co napisałem, to takie tam, widzi mi się, bo temat wydał mi się ciekawy ;)
Żaden ze mnie native speaker.