Ogólnie rzecz ujmując, różnica tkwi w zastosowaniu i znaczeniu.
Uczono mnie, że "gain" stosuje się przede wszystkim do rzeczy niematerialnych, gdzie "friends" stanowi wyjątek.
A "accomplish" kojarzy mi się z zrealizowaniem czegoś pomyślnie, czyli coś, co zostało zakończone sukcesem.
W przypadku "obtain" uzyskać, otrzymać (np. pozwolenie), co jest używane formalnie.
W przypadku "access" uzyskiwać do czegoś dostęp (np. do bazy danych) lub dostęp (prawo dostępu do jakiegoś miejsca lub materiałów), tyle że to już jest mniej formalne.