N/w powinno być b/z

I ought to have written to my parents, but I forgot. =
Powinienem był napisać do moich rodziców, ale zapomniałem.

Witam kolegę

Ciekawe pytanie i w sumie odpowiedziałeś na nie pisząc:

write sb - AmE
write to sb - BrE

czyli powiemy:

AmE -> She hasn't written me recently.
BrE -> She hasn't written to me recently.

ale nawet w BrE powiemy:
Write me a letter. Give me a cake.

-----------------------------------------
napisać coś to 'write sth'
napisać cos do kogoś to juz inna konstrukcja, spójrz:

I must write a letter. Jest jak najbardziej ok w BrE.

Z 'write' trzeba uważać jak mamy dwa dopełnienia, zazwyczaj jest tak [dopełnienie dalsze + dopełnienie bliższe]:
I wrote my sister a letter. -> BrE
ale jak zmienimy kolejność dopełnień, zmienia się konstrukcja zdania i pojawia się 'to':
I wrote a letter to my sister.

Dwa dopełnienia powodują [dop. bliższe + dalsze, nie odwrotnie], że konstrukcja 'write + to' musi wystąpić i nie możemy napisać samego 'write'.
TAK -> I wrote a letter to my sister.
NIE -> I wrote a letter my sister.

Natomiast tutaj:
'My mother wrote to give me details about the party. '
zwróć uwagę, że 'to' po słowie 'wrote' tyczy się 'give'a nie 'wrote' i oznacza 'by dać = to give' w tym konkretnie przypadku.

Obrazowo ujmując sprawę dopełnienie dalsze zazwyczaj otrzymuje coś, co wyrażone jest dopełnieniem bliższym. Czasami czasowniki takie jak write, give, read, tell są określane jako ditransitive verbs [z racji występowania z dwoma dopełnieniami]

To w telegraficznym skrócie, bo to szerokie zagadnienie, z wyjątkami i innymi atrakcjami z jakich słynie angielski:)

Pozdrawiam

Dzieki za odpowiedzi. Podsumowujac:

Jesli wiec poprawne formy to
AmE -> She hasn't written me recently.
BrE -> She hasn't written to me recently.

to zdanie na eutor powinno brzmiec

BrE -> I ought to have written to my parents, but I forgot.
AmE -> I ought to have written my parents, but I forgot?