prawidłowe tłumaczenie, czy obydwa tłumaczenia są dopuszczalne

Tak, „She looked at me with concern” jest jak najbardziej poprawne i naturalne.

Różnica jest głównie w stylu:

She gave me an anxious look – bardziej „gotowe wyrażenie”, rzeczownikowe, trochę bardziej formalne / książkowe
She looked at me with concern – bardziej opisowe, naturalne w codziennym języku

Oba tłumaczenia oddają sens zdania „Ona spojrzała na mnie w zatroskaniu”.

Można też spotkać inne warianty, np.:

She looked at me worriedly
She gave me a worried look

Czyli w tym przypadku nie ma jednej jedynej wersji – to bardziej kwestia stylu niż poprawności.