Odpowiem na te pytania o których mam pojęcie.
1. Czasownik frazowy tzw. phrasal verb: put on (your shoes ) mozesz też zastosować winnej formie czyli: put (your shoes) on.
put on your coat lub put your coat on
Tak samo ze zdejmowaniem ubrania czy butów:
take off your shoes
take your shoes off obydwie formy są poprawne.

2. Would you mind = Would you mind + verb-ing
mind znaczy: mieć coś przeciwko a formy którą podałaś użyjesz w grzecznej prośbie, jeśli chcesz żeby coś brzmiało naprawdę, szczególnie grzecznie. Np.: Would you mind helping me with my homework? = czy miała byś coś przeciwko temu aby pomóc mi w pracy domowej? = Czy możesz mi pomóc w pracy domowe? lub Would you mind locking the door = Czy miała byś coś przeciwko temu aby zmaknąć drzwi = Czy możesz zamknąć drzwi?
Would you like znaczy Czy chcesz? Np: Would you like sth to drink? = Czy chcesz coś do picia?

3. Jeśli nie wiesz który zastosować "do" czy "make" to prawdopodobnie bezpieczniej jest zastosować "make" ze względu na to iż występuje w większej liczbie zdań.

4.Won't = will not czyli zaprzeczenie w czasie przyszłym prostym. Np.: I won't do that czyli Nie zrobię tego.
W zdaniu które podałaś jest zastosowana inwersja czyli przestawiony szyk zdania po to by zbudować pytanie. W czasie przyszłym prostym z operatorem will pytanie budujemy poprzez inwersje: zdanie twierdzące = I will go there, pytanie = Will I go there? Lub negatywnie I won't go there a pytanie Won't I go there?

Pozdrawiam.