Dokladnie. Masz ten kubek od wielu lat i nadal go masz :)

To czas Present Perfect, służący w języku angielskim pokazaniu różnego rodzaju powiązań teraźniejszości z przeszłością.
W Twoim zdaniu służy do pokazania, od jak dawna trwa dana sytuacja (posiadanie kubka).
Więc jest właśnie tak jak mówisz, zaczęło się w przeszłości i trwa aż do teraz.
Forma jest taka: have/has + Past Participle (czasownik regularny z -ed lub tzw. III forma czasownika nieregularnego).

W Twoim zdaniu wystąpił ciekawy zbieg okoliczności, bo raz użyto "have" jako czasownika posiłkowego, slużącego do budowy czasu, a drugi raz jako normalnego czasownika w tym zdaniu w znaczeniu "posiadać" w III formie, identycznej z II (Past Simple) - stąd może Twoje złudzenie, że coś mam i miałem jednocześnie. :)