Nie jest i nie dlatego, że używa się formy skróconej, tylko dlatego że w przypadku tego zdania pytanie powinno brzmieć "What day is it today?". W pytaniu zmienia się kolejność z twierdzącego "it is", a zatem "it's" na "is it".
Inny przykład:
It is illegal to drive under the influence. <--- stwierdzam coś
Is it illegal to drive under the influence? <--- pytam
Tak samo zmienia się kolejność w "What day is it today?".

A pytania oczywiście można zadać przy pomocy formy skróconej, o ile będzie to poprawne gramatycznie zdanie, np.
Why have you not gone there yet?
Why haven't you gone there yet?