Na pierwsze pytanie odpowiedź brzmi: tak.
W mowie zależnej musisz "cofnąć" w przeszłość wszystkie czasowniki, chyba że mówisz o czymś, co jest nadal aktualne, np. I told her (that) I hate milk. -- nienawidziłem wtedy i nienawidzę go nadal.
Można by się zastanawiać, czy z czymś takim nie mamy do czynienia w zdaniu pierwszym, ale bez kontekstu nie mamy powodu przypuszczać, że brak apetytu to u tej osoby stan permanentny.
Co do next day: wszędzie podają, że musisz zmieniać na following day, co znaczy dokładnie to samo, następnego dnia.
Zobacz np.:
http://www.edufind.com/english/grammar/reported_speech_changes.php