Cześć :)

1. Kiedy i dlaczego stosujemy "be having sth done", a kiedy "will have sth done"?

Wszystko zależy od tego, co chcemy wyrazić w przyszłości - jeśli coś, co mamy już ustalone; jakieś plany, to użyjemy Present Continuous: https://www.etutor.pl/lessons/en/b1/2/3/41447

Jeśli chcemy powiedzieć o jakiejś decyzji, którą właśnie podjęliśmy, wtedy korzystamy z Future Simple: https://www.etutor.pl/lessons/en/a1/22/1/38592

A to jak wygląda konstrukcja "have something done" jest zależne właśnie od danego czasu.
W Present Continuous mamy odmieniony czasownik "be" oraz "-ing", dlatego konstrukcja wygląda tak: osoba + be + have + ing + dopełnienie + czasownik w III formie → "I am having my hair cut tomorrow".

A w Future Simple mamy czasownik "will" oraz bezokolicznik, czyli konstrukcja wygląda: osoba + will + have + dopełnienie + czasownik w III formie → "I will have my tap fixed".

2. Zdania z "have had" oraz "had had"

Tak samo jak wyżej, to jak odmieniona jest konstrukcja zależy od danego czasu. Jeśli mamy zdanie w czasie Present Perfect ("have" oraz czasownik w III formie), to konstrukcja brzmi: osoba + has/have + had + dopełnienie + czasownik w III formie → "I have had my wallet stolen recently" (proponowane przez Ciebie zdanie "I had my wallet stolen." jest w Past Simple).

Zdanie "Someone has stolen my wallet recently." bez "recently" to wciąż zdanie w czasie Present Perfect, jednak nie zawiera ono konstrukcji "have something done".

"Had had" można spotkać w czasie Past Perfect, a konstrukcja z "have something done" wygląda tak: osoba + had + had + dopełnienie + czasownik w III formie → "They had had their house designed before the baby was born".

Zdanie "They had had their house designed before the baby was born." mówi nam o dwóch sytuacjach w przeszłości, określając, która wydarzyła się wcześniej, a która później (wiemy, że oni najpierw zaprojektowali dom, a później urodziło się ich dziecko). W związku z tym, usunięcie ze zdania "before the baby was born" sprawia, że zdanie staje się dość niejasne (bo brakuje nam tego drugiego przeszłego wydarzenia) i powinno nas to skłonić do zapisania zdania w innym czasie, np. "They had their house designed last year". "They had their house designed" to czas Past Simple, dlatego użyłam frazy "last year", aby umiejscowić to wydarzenie w czasie.

Mam nadzieję, że pomogłam :)