Myślałem, że 'the' przed 'both of' się nie używa, ale znalazłem na necie:
http://www.langloo.com/both-gramatyka-angielska.html

gdzie wyraźnie piszą, że :
''W mowie potocznej używa się wyrażenia the both of us, np.

I'm sure they invited the both of us.
Jestem przekonany, że zaprosili nas oboje.

Bardziej powszechną formą byłoby:

I'm sure they invitied the two of us.
I'm sure they invitied both of us.''

Mimo wszystko zatem jako że nie mówimy o mowie potocznej to poprawną wersją powinno być 'The child needs both (of) its parents'
Pozdrawiam