"know" oznacza też wiedzieć, czyli "jego dziadkowie wiedzą". Czasami pomija się "that" w zdaniach. Z tego co zrozumiałam to to "that" jest opcjonalne i można go nie wstawiać, ale gdy czegoś nam brakuje to wiadomo, że powinno tam być. Nie jestem w stanie podać reguły gramatycznej która tu "panuje". W każdym razie, równie dobrze możesz zapisać to zdanie z "that", czyli
"His grandparents know (that) he watches Champions League matches and bought him a football for Christmas."
I masz tłumaczenie:
"Jego dziadkowie wiedzą, że on ogląda mecze Ligi Mistrzów i kupili mu piłkę na święta."

Gevelka ma racje.
"Know" oznacza wiedzieć.
"That" jest opcjonalne, i niezależnie od tego czy znajduje się w zdaniu, czy też nie, tłumaczymy ten element jako "że".

Pozwolę sobie dodać jeszcze jedno.
Pamiętajcie, że reguły interpunkcji w j.angielsku są odmienne od tych w j.polskim, i nigdy przed 'that' oznaczającym 'że' nie stawiamy przecinka.