"Tired" jest odpowiednikiem naszego "zmęczony".
"Exhausted" ma mocniejsze znaczenie i można to tłumaczyć jako "wycieńczony, wykończony".
"Run-down" oznacza bardzo zmęczony, wyglądający na wykończonego i niezdrowego, najczęściej z powodu przepracowania. Oprócz tego, to słowo może być użyte do określenia przedmiotów (zwłaszcza budynków i części miasta). Znaczy wtedy "w złym stanie, zużyte".

A jest jeszcze takie słowo jak "fatigue" - zmęczenie. Czym się różni od "tiredness"?

'Exhausted', 'fatigued', 'run-down', 'worn out' oznaczają bardzo duże zmęczenie, podczas gdy 'tired' albo niewielkie albo nie określa stopnia zmęczenia, można wtedy modyfikować: "I was extremely tired..."
Pierwsze tłumaczymy jako 'wyczerpany', 'wykończony'; 'run-down' tak jak napisał karol.k oznacza, że ktoś może również wyglądać lub być podupadły na zdrowiu:
"When Mary started to feel run-down last December, it never occurred to anyone that she could have tuberculosis" - Gdy zeszłego grudnia Mary zaczęła się czuć wyczerpana (zaczęła być w kiepskiej kondycji), nikomu nie przyszło do głowy, że może być chora na gruźlicę.
Natomiast jeśli chodzi o rzeczy, budynki to 'run-down' oznacza 'zaniedbany', 'podupadły' a 'worn-out' - 'zniszczony', 'znoszony'.

,,Fatigued'' spotkałem wyłącznie w odniesieniu do przedmiotów w znaczeniu zmęczenia materiału, np. metal fatigue.

A "wiped out" to w jakim kontekście możemy użyć? Też znaczy "wykończony".

tired - zmęczony
exhausted- wyczerpany oznacza duże zmęczenie powodujące skrajne reakcje powodowane długotrwałym obciążeniem
run-down - podobnie jak exhausted lecz częściej używane do przedmiotów np: wyczerpanie baterii