W pierwszym zdaniu rzeczywiście jest konkretny autobus - ten, na który biegnę, żeby go złapać :) Bardzo prawdopodobne jest to, że skoro muszę biec to znaczy, że widzę ten konkretny autobus, do którego chcę wsiąść, a który np. właśnie podjechał na przystanek i za moment odjedzie. Stąd to nasze "the".

W drugim zdaniu nie musimy mieć na myśli konkretnego autobusu, który widzimy, który jedzie o określonej godzinie bądź na który czekamy. Nasz podmiot przeszedł przez ulicę, żeby złapać autobus - którykolwiek, który mu pasuje i dowiezie do określonego miejsca. Powiedzmy, że był zmęczony, miał ciężkie torby, więc zdecydował, że podjedzie sobie do domu autobusem. Przeszedł więc przez ulicę, żeby ustawić się na przystanku i złapać pierwszy autobus, który jedzie w stronę domu.