Wystarczy zajrzeć do słownika:
finish (sth/doing sth) - kończyć (się)
Po prostu czasownik finish łączy się zawsze z bezokolicznikiem:
finish + gerund, np.
finish doing
finish cooking
finish playing
ofc. można też powiedzieć "finish that" albo "finish homework" (finish sth)

Jeszcze taka drobna kwestia... "writing" nie jest tutaj w czasie Present Continuous tylko w formie gerund. Czas present continuous to jest:
to be + gerund

Podobnie "to write" to nie czas present simple tylko infinitive (bezokolicznik).

Hej

Muszę sprostować to odpowiedź, gdyż Estiny Ci podała:
'Po prostu czasownik finish łączy się zawsze z bezokolicznikiem'
co jest nieprawdą, jest właśnie na odwrót i finish łączy się z rzeczownikiem odczasownikowym (gerund).

Myślę, że pomyliło jej się 'infinitive' z 'gerund' bo przykłady są poprawne.

Pozdrawiam