Nie, nie! Musi być "a young woman".
Jeśli pojawia się takie pytanie, to domyślam się, że może chodzić o to, że "y" jest w języku polskim samogłoską.
Różnica między użyciem a oraz an brzmi najprościej: przed słowami zaczynającymi się spółgłoską napiszemy (i powiemy) a, a przed samogłoskami an.
Tylko pojawia się pytanie, czy "y" rzeczywiście jest tutaj samogłoską. Jak się za chwilę okaże, wcale nie jest.

Trzeba pamiętać, że ta reguła nie dotyczy liter, tylko głosek. A zatem istotne są dźwięki, jakie wypowiadamy przy danym słowie, a nie pisownia.
Kiedy mówimy "young woman", słychać /jʌŋ wʊmən/. W uproszczonej polskiej transkrypcji /jan łumen/.
W wyrazie "young” wypowiadamy spółgłoskę /j/, dlatego właściwe jest postawienie przed nią indefinite article "a", tj. "a young woman".

W innym zdaniu z tego ćwiczenia — She has an umbrella — w wyrazie "umbrella" słychać samogłoskę /ʌ/ zbliżoną do polskiego /a/. Potrzebne jest "an".

Zwykle litery odpowiadają dźwiękom wytwarzanym w mowie — głoskom — ale nie zawsze. Weźmy na ten przykład "an honest man". Gdyby patrzeć na same litery, mogłaby się pojawić wątpliwość, czy przed H nie powinno być "a honest man", w końcu H wydaje się być spółgłoską.
Kwestia ponownie dotyczy wymowy, a nie tekstu. W tym słowie H jest nieme, wobec tego mówimy /ɒnɪst mæn/, a po polsku /onest men/. W słowie "honest" jako pierwszą słyszymy mniej więcej samogłoskę /o/, wobec czego musi być "an honest man".
Mniej więcej, bo tak właściwie to jest trochę inna głoska niewystępująca w polskim, ale dla uproszczenia można powiedzieć, że brzmi jak /o/.

W lekcji, z której pochodzi twój przykład, napisano o tym, że liczy się wymowa, a nie pisownia. Możesz ją przejrzeć jeszcze raz.

Na koniec taka uwaga odnośnie powodów, dla których wprowadzono dwa różne przedimki. Tak właściwie służą one jedynie poprawie płynności mówienia. Przykładowo wyrażenia "an old tree", "an intelligent person", "an empire" wymawia się łatwiej niż "a old tree" itd. Dwie samogłoski obok siebie bardziej się zlewają, przez co wymowa staje się mniej wyraźna. To dodatkowe /n/ między nimi pozwala oddzielić przedimek od właściwego wyrazu.

Wniosek — to wymowa decyduje o tym, czy stawiać "a" czy "an".
Też pozdrawiam
NY