Nagrania rzeczywiście nie zgadzają się z napisami. Powinno być odwrotnie. A jeśli pytasz, która forma jest poprawna, to w tej sytuacji obie. W uproszczeniu można powiedzieć, że znaczą to samo i można je zamieniać. Nie zawsze, ale w tym zdaniu pasują. Z tego, co czytałem, w wersji brytyjskiej częściej mówi się "(to) stay at home", a w amerykańskiej ”(to) stay home". Może nieprzypadkowo tak przeczytali, bo pierwszy mówi z akcentem Brit, a drugi AmE. Tak na marginesie - lektor z ćwiczenia wymawia słowo "raining" lepiej. Jak chcesz poprawnie mówić, zwracaj uwagę na to, w jaki sposób lektorzy czytają słowa zakończone na -ing. Tę końcówkę wymawia się inaczej niż po polsku.